Дискриминант квадратного уравнения

Что такое дискриминант простыми словами

Дискриминант — это число, которое считают по коэффициентам квадратного уравнения, чтобы заранее узнать, сколько у него корней. Слово латинское, discriminans — «различающий»: он различает три случая, ничего пока не решая.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю. Числа a, b и c называют коэффициентами: a стоит при x², b при x, c — свободный член. Больше дискриминанту ничего не нужно, он считается только из этих трёх чисел.

Смысл в том, чтобы не решать вслепую. Может оказаться, что корней у уравнения нет вовсе, и тогда все вычисления по формуле корней окажутся напрасными. Дискриминант отвечает на этот вопрос одним действием и определяет количество корней, а уже потом, если они есть, их находят.

Строго говоря, дискриминант есть у любого многочлена, не только у квадратного. Но в школе под этим словом всегда имеют в виду одно выражение — b² − 4ac.

Формула дискриминанта

Обозначают его латинской буквой D, реже — греческой Δ. Формула одна и та же для любого квадратного уравнения, разных вариантов под разные случаи нет.

Квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0

Дискриминант

D = b² − 4ac

Корни, если D > 0

x = (−b ± √D) : (2a)

Корень, если D = 0

x = −b : (2a)

Вторая формула и есть то, ради чего считается первая. Знак ± означает, что действий два: один раз прибавляем корень из дискриминанта, второй раз вычитаем — и получаем два ответа.

Как найти дискриминант

Три шага, и первый из них важнее остальных.

1. Привести уравнение к нужному виду. Все слагаемые должны стоять слева, справа — ноль. Пока уравнение записано как 3x² = 5x − 2, выписывать коэффициенты рано: сначала переносим всё влево и получаем 3x² − 5x + 2 = 0.
2. Выписать a, b и c вместе со знаками. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 это a = 1, b = −5, c = 6. Минус — часть коэффициента, а не отдельный значок перед ним. Если при x² ничего не написано, значит a = 1.
3. Подставить в формулу и посчитать. D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.

Чему равен дискриминант — это и есть результат первого этапа: одно число, из знака которого дальше следует всё остальное.

Что означает знак дискриминанта

Про случай, когда дискриминант равен 0, говорят двумя способами: «один корень» и «два совпавших корня». В школьном ответе пишут один, и это не ошибка — просто прибавление и вычитание нуля дают одно и то же число.

Про отрицательный дискриминант. Корней нет не потому, что мы плохо искали: под знаком корня оказалось отрицательное подкоренное выражение, а квадратного корня из отрицательного числа среди обычных чисел не существует. Наглядно это выглядит так: график уравнения — парабола, которая целиком лежит выше или ниже оси x и не пересекает её. В вузе для этого случая вводят комплексные числа, но в школьном ответе пишут «действительных корней нет».

Разбор примеров

Два корня: D > 0

x² − 5x + 6 = 0. Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6.

D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Дискриминант положительный, значит корня два. Корень из единицы равен единице, поэтому

x₁ = (5 + 1) : 2 = 3,   x₂ = (5 − 1) : 2 = 2.

Проверка занимает секунду: 3 + 2 = 5, а это −b; 3 · 2 = 6, а это c. Сходится.

Один корень: D = 0

x² − 6x + 9 = 0. Коэффициенты: a = 1, b = −6, c = 9.

D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0. Корень один: x = 6 : 2 = 3.

Такие уравнения узнаются и без вычислений: слева стоит полный квадрат, x² − 6x + 9 = (x − 3)², и ответ виден прямо из скобки.

Корней нет: D < 0

2x² + 3x + 5 = 0. Коэффициенты: a = 2, b = 3, c = 5.

D = 3² − 4 · 2 · 5 = 9 − 40 = −31. Дискриминант отрицательный — дальше считать нечего, в ответе пишем, что действительных корней нет. Подставлять −31 в формулу корней не нужно: под корнем не должно оказаться минуса.

Проверить себя: решатель уравнения

Решили сами — сверьтесь с калькулятором. Он решает уравнение через дискриминант с помощью тех же формул и показывает каждый шаг, поэтому видно, где именно разошлось. Коэффициенты вводятся со знаком: для x² − 5x + 6 = 0 это 1, −5 и 6.

Чётный дискриминант: формула D₁

Когда второй коэффициент чётный, есть способ короче. Пусть b = 2k — тогда считают не D, а D₁, и чисел в вычислении получается заметно меньше.

Если b = 2k

D₁ = k² − ac

Корни

x = (−k ± √D₁) : a

Пример. 3x² − 8x + 4 = 0. Здесь b = −8, значит k = −4. D₁ = (−4)² − 3 · 4 = 16 − 12 = 4, корень из него равен 2.

x₁ = (4 + 2) : 3 = 2,   x₂ = (4 − 2) : 3 = ⅔.

Обычный дискриминант дал бы D = 64 − 48 = 16 — ровно вчетверо больше. Это не совпадение: D = 4D₁ всегда, поэтому знаки у них одинаковые и вывод о количестве корней не меняется. Пользоваться можно любой формулой, ответ выйдет один и тот же.

Когда дискриминант считать не нужно

Два случая, где его считают по привычке, а он не требуется.

Неполное квадратное уравнение. Если b = 0 или c = 0, всё решается проще. При c = 0 выносим x за скобку: 2x² − 6x = 0 превращается в x(2x − 6) = 0, откуда x = 0 или x = 3. При b = 0 переносим и извлекаем корень: x² − 9 = 0 даёт x² = 9 и x = ±3.

Теорема Виета. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0, где a = 1, сумма корней равна −p, а произведение равно q. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 достаточно найти два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3, и делается это устно. Способ работает, когда корни целые и небольшие; если подбор не пошёл за несколько секунд, быстрее посчитать дискриминант.

Частые ошибки

Потеряли минус у коэффициента. В x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b равен −5, а не 5. На сам дискриминант это не влияет, потому что b возводится в квадрат, но в формуле корней стоит −b, и там ошибка вылезает сразу: вместо 3 и 2 получаются −3 и −2.

Возвели в квадрат не то. В записи D = b² − 4ac в квадрат идёт только b. Ни (b − 4ac)², ни b² − (4ac)² дискриминантом не являются.

Забыли знак свободного члена. В уравнении x² + 3x − 10 = 0 коэффициент c равен −10, поэтому −4ac = −4 · 1 · (−10) = +40, и дискриминант выходит 49, а не −31. Два минуса дают плюс — это самое частое место, где теряют корни и пишут «решений нет» там, где они есть.

Разделили не всё. В формуле x = (−b ± √D) : (2a) на 2a делится весь числитель целиком, а не только корень из дискриминанта.

Не привели уравнение к нужному виду. Пока справа не ноль, коэффициенты выписывать нельзя. Из 3x² = 5x − 2 сначала получается 3x² − 5x + 2 = 0, и только потом a = 3, b = −5, c = 2.

В каком классе проходят дискриминант

В восьмом классе, в теме квадратных уравнений. До этого весь курс алгебры занят линейными уравнениями, где ответ ровно один и находится переносом слагаемых. Квадратное — первое уравнение, у которого корней может быть два, один или ни одного, и дискриминант нужен именно для того, чтобы различать эти случаи.

В девятом классе он возвращается в теме квадратичной функции: через него находится точка, где парабола пересекает ось x, и раскладывается на множители квадратный трёхчлен. Дальше дискриминант встречается везде, где появляется квадратное уравнение, — в задачах на движение и работу, в неравенствах, в тригонометрических уравнениях после замены, в первой части ОГЭ и в профильном ЕГЭ.