Алгебра

Что это за раздел и как он устроен

Алгебра — это раздел математики, в котором вместо конкретных чисел работают с буквами. Одна запись заменяет бесконечно много частных случаев: формула площади прямоугольника S = ab верна и для 3 на 5, и для 17 на 2,4, и её не надо переписывать под каждый набор чисел.

Отсюда и главное отличие от арифметики. Арифметика отвечает на вопрос «сколько получится», алгебра — на вопрос «как получится в любом случае». В арифметике считают 7 · 8, в алгебре доказывают, что (a + b)² больше a² + b² ровно на удвоенное произведение — и дальше пользуются этим для любых a и b.

В школе алгебра идёт с седьмого класса отдельным предметом, параллельно с геометрией. Слово «алгебра» при этом означает две разные вещи: школьный курс и большой раздел высшей математики со своими операциями и структурами. Здесь речь только о школьном.

Справочник устроен так: на странице раздела — сводка основных формул, а подробный разбор с примерами и типичными ошибками вынесен в отдельные статьи. Ниже те, что уже написаны.

Буквы вместо чисел

Три понятия, без которых дальше ничего не читается.

Переменная — буква, вместо которой можно подставить любое число: x, y, a, b. Выражение — то, что из них составлено: 3x + 5, a² − b². Уравнение — равенство с переменной, и его надо решить, то есть найти все значения буквы, при которых равенство верно.

Одночлен — произведение чисел и букв: 5a²b. Многочлен — сумма одночленов: 3x² − 5x + 2. Почти вся школьная алгебра сводится к тому, чтобы преобразовать многочлен в удобный вид: раскрыть скобки, привести подобные, разложить на множители.

Формулы сокращённого умножения

Самый используемый набор во всём курсе. Их учат в седьмом классе, а работают они до одиннадцатого: без них не сокращаются дроби, не раскладываются на множители многочлены и не берутся пределы.

Квадрат суммы

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат разности

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Разность квадратов

a² − b² = (a − b)(a + b)

Куб суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Куб разности

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Сумма кубов

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Разность кубов

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Читать их можно в обе стороны, и вторая сторона важнее. Слева направо — раскрыть скобки, справа налево — разложить на множители, а именно это нужно в девяти задачах из десяти.

Квадратные уравнения

Второй по значимости блок школьной алгебры. Уравнение вида ax² + bx + c = 0 решается через дискриминант — число, которое заранее говорит, сколько у него корней.

Квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0

Дискриминант

D = b² − 4ac

Корни при D > 0

x = (−b ± √D) : (2a)

Корень при D = 0

x = −b : (2a)

Теорема Виета для x² + px + q = 0

x₁ + x₂ = −p,   x₁ · x₂ = q

Знак дискриминанта решает всё: положительный — два корня, ноль — один, отрицательный — действительных корней нет. Подробный разбор с примерами на все три случая — в статье про дискриминант.

Степени и корни

Восьмой класс. Правила действий со степенями выглядят очевидными, но именно на них теряют баллы: почти все ошибки здесь — от того, что складывают показатели там, где надо умножать, и наоборот.

Умножение степеней

a^m · aⁿ = a^m+n

Деление степеней

a^m : aⁿ = a^m−n

Степень степени

(a^m)ⁿ = a^mn

Степень произведения

(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ

Нулевая степень

a⁰ = 1 при a ≠ 0

Отрицательная степень

a⁻ⁿ = 1 : aⁿ

Корень произведения

√(ab) = √a · √b

Корень из квадрата

√(a²) = |a|

Последняя строка — самая недооценённая. Корень из квадрата равен модулю, а не самому числу: √((−3)²) = 3, а не −3. На экзамене это отдельная ловушка.

Прогрессии

Девятый класс. Прогрессия — это последовательность, устроенная по правилу: в арифметической к каждому следующему члену прибавляют одно и то же число, в геометрической — умножают на одно и то же.

Арифметическая, n-й член

aₙ = a₁ + (n − 1)d

Арифметическая, сумма

Sₙ = (a₁ + aₙ) : 2 · n

Геометрическая, n-й член

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Геометрическая, сумма

Sₙ = b₁(qⁿ − 1) : (q − 1), при q ≠ 1

Бесконечно убывающая, сумма

S = b₁ : (1 − q), при |q| < 1

Логарифмы

Десятый класс. Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень надо возвести основание, чтобы получить число». Запись log₂ 8 = 3 читается так: двойку надо возвести в третью степень.

Определение

log_a b = c означает a^c = b

Логарифм произведения

log_a(xy) = log_a x + log_a y

Логарифм частного

log_a(x : y) = log_a x − log_a y

Логарифм степени

log_a xⁿ = n · log_a x

Основное тождество

a^{log_a x} = x

Переход к новому основанию

log_a x = log_b x : log_b a

Первые две формулы объясняют, зачем логарифмы вообще придумали: они превращают умножение в сложение. До калькуляторов этим считали.

Функции и графики

Функция — это правило, которое каждому x сопоставляет ровно один y. В школе разбирают несколько видов, и у каждого свой узнаваемый график.

Линейная

y = kx + b, график прямая

Квадратичная

y = ax² + bx + c, график парабола

Вершина параболы

x₀ = −b : (2a)

Обратная пропорциональность

y = k : x, график гипербола

Связь с уравнениями прямая: решить ax² + bx + c = 0 — то же самое, что найти точки, где парабола пересекает ось x. Отсюда и три случая дискриминанта: парабола пересекает ось дважды, касается её или проходит мимо.

Что учат в каком классе

В седьмом классе алгебра начинается: буквенные выражения, одночлены и многочлены, формулы сокращённого умножения, линейные уравнения и системы, линейная функция. В восьмом — алгебраические дроби, квадратные корни, квадратные уравнения и дискриминант, неравенства. В девятом — квадратичная функция, системы неравенств, прогрессии, и в конце года ОГЭ.

Десятый и одиннадцатый классы называются «алгебра и начала анализа»: тригонометрические функции и уравнения — они разобраны в разделе тригонометрии, — степенная, показательная и логарифмическая функции, производная и интеграл, а в конце ЕГЭ.

Порядок здесь жёсткий, и провал обычно старше, чем кажется. Если в девятом не идут прогрессии, проверять надо седьмой: почти всегда дело в раскрытии скобок и приведении подобных, а не в самой формуле n-го члена.

Где чаще всего ошибаются

Минус перед скобкой. −(a − b) равно −a + b, а не −a − b. Знак меняется у каждого слагаемого внутри, и на этом теряют больше баллов, чем на любой формуле.

Квадрат суммы. (a + b)² — это не a² + b². Удвоенное произведение теряют чаще, чем ошибаются во всех остальных формулах вместе.

Сокращение на выражение с нулём. Делить обе части уравнения на x можно только после проверки, что x не равен нулю. Иначе корень x = 0 просто теряется.

Перенос без смены знака. Слагаемое, перешедшее через знак равенства, меняет знак на противоположный. Механическая ошибка, но живучая.

Корень из квадрата. √(a²) = |a|. Если про модуль забыть, половина корней уравнения окажется потерянной, а вторая половина — лишней.