Длина окружности

Что такое длина окружности

Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом. Длина окружности — то, сколько получится, если разогнуть эту линию в отрезок и измерить его. Обозначают её буквой C, реже L.

Наглядно: длина окружности колеса — это путь, который колесо проходит за один полный оборот. Отсюда и половина школьных задач про велосипед, шестерёнку и рулон.

Формулы

Формул две, и это одна и та же формула, записанная через разные величины. Какую брать — зависит от того, что дано в условии: длина окружности находится и через радиус, и через диаметр, оба пути дают один ответ.

Через радиус

C = 2πr

Через диаметр

C = πd

Связь радиуса и диаметра

d = 2r

Через площадь круга

C = 2√(πS)

Как найти длину окружности, если известен радиус: умножить его на 2 и на π. Длина окружности через радиус 5 см — это 2 × 3,14 × 5 = 31,4 см. Если дан диаметр, радиус искать не нужно: сразу умножаем диаметр на π.

Число π: откуда оно берётся

π — это не выдуманная константа, а результат измерения. Возьмите любой круглый предмет, измерьте нитью его окружность и линейкой — диаметр, а потом разделите первое на второе. Получится примерно 3,14, и так будет с крышкой, монетой и колесом обозрения одинаково.

Именно поэтому π входит в формулу: отношение длины окружности к диаметру одинаково у всех окружностей на свете. В школьных задачах берут 3,14, иногда 22/7. Точного значения у π нет — это бесконечная непериодическая дробь, и в этом смысле любой ответ с π приблизительный.

Разбор примеров

Дан радиус

Радиус клумбы 3 м, нужно найти длину бордюра по краю. C = 2πr = 2 × 3,14 × 3 = 18,84 м. Бордюра нужно 18,84 метра, на практике покупают с запасом.

Дан диаметр

Диаметр колеса 70 см. C = πd = 3,14 × 70 = 219,8 см, то есть примерно 2,2 метра за оборот. За километр пути колесо сделает около 455 оборотов.

Ответ просят оставить в π

Радиус 6 см, значит C = 2π × 6 = 12π см. Такая запись точнее приближённой: она не теряет ничего на округлении, и на экзамене её принимают.

Обратная задача: найти радиус или диаметр

Иногда известна длина, а нужны радиус или диаметр — например, когда обхват трубы измерили рулеткой. Формулу просто разворачивают:

Диаметр по длине

d = C : π

Радиус по длине

r = C : (2π)

Обхват дерева 157 см — значит диаметр ствола 157 : 3,14 = 50 см, а радиус 25 см. Калькулятор выше считает в обе стороны: достаточно переключить, какая величина известна.

Длина окружности и площадь круга

Две разные величины, которые путают чаще всего остального в этой теме. Длина окружности — это линия по краю, измеряется в сантиметрах и метрах. Площадь круга — это то, что внутри, и измеряется в квадратных единицах.

Длина окружности

C = 2πr — сантиметры, метры

Площадь круга

S = πr² — квадратные сантиметры и метры

Простая проверка себя: если в формуле радиус стоит в квадрате — это площадь. Если просто радиус — длина. Ошибку с «площадью окружности» делают и взрослые, хотя у линии площади не бывает: площадь есть у круга.

Частые ошибки

Подставили диаметр в формулу с радиусом. Самая массовая ошибка, и ответ выходит ровно вдвое больше нужного. Если в условии дан диаметр, берите C = πd или сначала поделите его пополам.

Забыли удвоить. В формуле C = 2πr двойка обязательна. Записанное πr — это ничто, у такой величины нет геометрического смысла.

Смешали единицы. Радиус в сантиметрах, а ответ записали в метрах. Калькулятор единицы не подставляет намеренно: следить за ними — часть решения задачи.