Геометрия

Геометрия — это раздел математики о фигурах, их размерах и взаимном расположении. В школе она идёт отдельным предметом с седьмого класса, хотя первые фигуры — квадрат, круг, треугольник — появляются гораздо раньше, ещё в начальной школе.

Что это за раздел и как он устроен

Школьная геометрия делится на две части. Планиметрия занимается плоскими фигурами: треугольниками, четырёхугольниками, окружностью. Её проходят с 7 по 9 класс, и именно она составляет геометрическую часть ОГЭ. Стереометрия начинается в десятом и работает с телами в пространстве — призмой, пирамидой, цилиндром, шаром.

Формул в геометрии много, и это отпугивает. Но большая их часть выводится из нескольких основных: площадь любого многоугольника сводится к площади треугольника, а тот — к прямоугольнику. Понять эту цепочку полезнее, чем выучить тридцать отдельных строк.

Основные фигуры и понятия

Точка, прямая и плоскость в геометрии не определяются — это исходные понятия, через которые описывается всё остальное. Из них строятся отрезок, луч и угол, а из углов и отрезков — фигуры.

Сумма углов треугольника

180°

Сумма углов четырёхугольника

360°

Сумма углов n-угольника

180° · (n − 2)

Смежные углы

в сумме дают 180°

Вертикальные углы

равны между собой

Треугольник

Главная фигура планиметрии: к треугольнику сводится площадь любого многоугольника, и на нём же держится вся тригонометрия.

Площадь через высоту

S = ½ · a · h

Площадь через две стороны и угол

S = ½ · a · b · sin γ

Формула Герона

S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p — полупериметр

Теорема Пифагора

a² + b² = c² (только для прямоугольного)

Теорема косинусов

c² = a² + b² − 2ab · cos C

Неравенство треугольника

каждая сторона меньше суммы двух других

Тригонометрические соотношения в треугольнике — синус, косинус, тангенс — разобраны в разделе тригонометрии.

Четырёхугольники

Прямоугольник, параллелограмм, ромб и трапеция — четыре фигуры, формулы площади которых путают чаще всего. Разница в том, что берётся за высоту.

Прямоугольник

S = a · b,   P = 2(a + b)

Квадрат

S = a²,   P = 4a

Параллелограмм

S = a · h,   P = 2(a + b)

Ромб

S = a · h = ½ · d₁ · d₂

Трапеция

S = (a + b) : 2 · h

Окружность и круг

Окружность — это линия, все точки которой одинаково удалены от центра. Круг — часть плоскости внутри неё. Различие не педантичное: у окружности считают длину, у круга площадь, и путаница здесь стоит баллов на экзамене.

Длина окружности

C = 2πr = πd

Площадь круга

S = πr²

Длина дуги

L = 2πr · α : 360°

Площадь сектора

S = πr² · α : 360°

Вписанный угол

вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу

Подробный разбор с калькулятором — на странице длины окружности.

Объёмы и площади поверхности тел

Стереометрия начинается в десятом классе. Логика та же, что в планиметрии: объём призмы и цилиндра считается как площадь основания, умноженная на высоту, а у пирамиды и конуса добавляется множитель одна треть.

Прямоугольный параллелепипед

V = a · b · c

Куб

V = a³

Призма

V = S_осн · h

Цилиндр

V = πr²h

Пирамида

V = ⅓ · S_осн · h

Конус

V = ⅓ · πr²h

Шар

V = 4/3 · πr³,   S = 4πr²

Доказательства: чем геометрия отличается от алгебры

Главная трудность предмета не в формулах. Геометрия — единственный школьный курс, где от ученика требуют не посчитать, а доказать: объяснить, почему утверждение верно, опираясь на аксиомы и уже доказанные теоремы. В алгебре есть алгоритм, по которому можно дойти до ответа механически. Здесь алгоритма нет — есть набор инструментов и задача сообразить, какой из них подойдёт.

Отсюда типичная картина: ребёнок выучил все формулы, а задачи не решаются. Формулы — это только вторая половина дела. Первая — увидеть в чертеже равные треугольники, параллельные прямые или вписанный угол, то есть распознать конфигурацию, к которой применима теорема.

Тренируется это одним способом: разбором решённых задач с вопросом «почему автор сделал именно так». Геометрия набирается насмотренностью, а не количеством прорешанных примеров, и в этом она ближе к шахматам, чем к арифметике.

Что учат в каком классе

В седьмом классе геометрия начинается: точка, прямая, угол, признаки равенства треугольников. В восьмом — четырёхугольники, площади и теорема Пифагора. В девятом добавляются векторы, теоремы синусов и косинусов и окружность, а к концу года всё это спрашивают на ОГЭ. Десятый и одиннадцатый отданы стереометрии: прямые и плоскости в пространстве, многогранники, тела вращения, координаты.

Порядок здесь жёсткий: восьмой класс без седьмого не работает, потому что доказательства опираются на признаки равенства треугольников. Если геометрия «не идёт» в девятом, проверять обычно надо седьмой. Геометрия вообще не прощает пропусков сильнее любого другого предмета: каждая новая теорема стоит на предыдущих.

Где чаще всего ошибаются

Первое место с большим отрывом — теорема Пифагора, применённая к непрямоугольному треугольнику. Она работает только там, где есть прямой угол; во всех остальных случаях нужна теорема косинусов.

Второе — высота вместо стороны. В формуле площади треугольника и параллелограмма h — это именно высота, перпендикуляр к основанию, а не боковая сторона. У наклонного параллелограмма это разные величины.

Третье — длина окружности вместо площади круга и наоборот. Проверить себя просто: у площади размерность квадратная, и в формуле обязан стоять радиус в квадрате.