Арифметика

Арифметика — раздел математики о числах и действиях над ними. С неё начинается школьная программа, и к ней же всё возвращается: дроби, проценты, уравнения и даже тригонометрия считаются теми же четырьмя действиями. Если у ребёнка «не идёт» математика в средней школе, причина чаще всего здесь, а не в новой теме.

Четыре арифметических действия

Действий всего четыре, и у каждого свои названия компонентов. Их стоит знать не ради терминологии: без них не понять формулировку задачи и объяснение учителя.

Сложение

слагаемое + слагаемое = сумма

Вычитание

уменьшаемое − вычитаемое = разность

Умножение

множитель · множитель = произведение

Деление

делимое : делитель = частное

Умножение и деление — сокращённая запись сложения и вычитания: 4 · 3 это 4 + 4 + 4. Поэтому таблицу умножения бессмысленно заучивать до того, как ребёнок понял этот смысл. Сложение и умножение считаются прямыми действиями, вычитание и деление — обратными к ним: каждое отменяет своё. Отсюда и способ проверки — выполнить обратное действие и сверить результат с исходным числом.

Порядок арифметических действий

В выражении без скобок сначала выполняют умножение и деление, потом сложение и вычитание. Действия одного уровня идут слева направо. Скобки меняют порядок: то, что внутри них, считается первым.

Правило

скобки → степени → умножение и деление → сложение и вычитание

Без скобок

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14

Со скобками

(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20

Один уровень

20 : 4 · 5 = 5 · 5 = 25, а не 20 : 20

Последний пример — самая частая ошибка: деление и умножение равноправны, и выполнять их надо по очереди слева направо, а не «сначала умножение».

Свойства сложения и умножения

Эти свойства выглядят очевидными, но именно они разрешают считать удобным способом: переставлять слагаемые, группировать их и раскрывать скобки.

Переместительное

a + b = b + a,   a · b = b · a

Сочетательное

(a + b) + c = a + (b + c)

Распределительное

a · (b + c) = a · b + a · c

Ноль и единица

a + 0 = a,   a · 1 = a,   a · 0 = 0

Распределительное свойство — это и есть приём устного счёта: 7 · 12 удобно считать как 7 · 10 + 7 · 2 = 84. На делении на ноль правил нет: делить нельзя, такое выражение не имеет смысла.

Деление с остатком

Не всякое деление даёт целое частное. Запись 17 : 5 = 3 (остаток 2) означает, что 5 помещается в 17 три раза, и остаётся ещё 2. Проверить можно обратным действием: делитель умножить на частное и прибавить остаток — должно получиться делимое, 5 · 3 + 2 = 17. Главное правило: остаток всегда меньше делителя. Если он получился больше или равен, частное занижено и деление надо продолжить.

Признаки делимости

Признаки делимости экономят время там, где иначе пришлось бы делить в столбик: при сокращении дробей, разложении на множители и поиске общего знаменателя. Их достаточно знать для пяти чисел.

На 2

последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6 или 8

На 5

последняя цифра 0 или 5

На 10

последняя цифра 0

На 3

сумма цифр делится на 3: 174 → 1 + 7 + 4 = 12

На 9

сумма цифр делится на 9: 621 → 6 + 2 + 1 = 9

Что учат в каком классе

В первом и втором классе — сложение и вычитание в пределах сотни и состав числа. Во втором и третьем — таблица умножения и деление. В третьем и четвёртом — умножение и деление в столбик, порядок действий со скобками, доли. В пятом и шестом добавляются обыкновенные и десятичные дроби, проценты и отрицательные числа. Дальше арифметика как отдельная тема заканчивается, но никуда не девается: в алгебре ошибаются чаще всего не в новом правиле, а в обычном счёте внутри длинного примера.

Наш справочник устроен так: на странице раздела — сводка правил и формул, а подробный разбор с примерами и типичными ошибками вынесен в отдельные статьи. Ниже те, что уже написаны.

Пробел в арифметике тянется годами и мешает в темах, которые сами по себе несложные. Преподаватель находит его на первом занятии — оно бесплатное.