Объём цилиндра

Что такое объём цилиндра

Цилиндр — тело, у которого два одинаковых круглых основания и боковая поверхность между ними. Банка, стакан, труба, бочка, монета: всё это цилиндры, отличаются они только тем, что у одних высота больше радиуса, а у других наоборот.

Объём цилиндра — это сколько в него помещается. Считать его отдельной хитрой формулой не нужно: работает то же правило, что у коробки. Площадь основания умножается на высоту, просто основание здесь круг, а не прямоугольник. Отсюда и π в формуле — оно приходит из площади круга, а не из самой фигуры.

Формулы

Формула объёма цилиндра одна, но записывается по-разному — в зависимости от того, что дано в условии. Все три записи дают одинаковый результат.

Через радиус и высоту

V = πr²h

Через диаметр и высоту

V = πd²h : 4

Через площадь основания

V = S_осн · h

Площадь основания

S_осн = πr²

Как посчитать объём цилиндра по первой формуле: возвести радиус в квадрат, умножить на π и на высоту. Порядок значения не имеет, но возводить в квадрат нужно только радиус — высота в квадрат не идёт. Если известен диаметр, удобнее сначала поделить его пополам: так меньше шансов забыть четвёрку в знаменателе.

Разбор примеров

Дан радиус

Радиус основания 5 см, высота 12 см. Площадь основания S = 3,14 × 5² = 78,5 см², объём V = 78,5 × 12 = 942 см³. Столько воды войдёт в такую банку.

Дан диаметр

Диаметр трубы 20 см, длина 3 м. Сначала приводим к одним единицам: 3 м — это 300 см. Радиус 20 : 2 = 10 см, V = 3,14 × 10² × 300 = 94 200 см³.

Дана площадь основания

Площадь дна бака 0,5 м², высота 1,8 м. Радиус искать не нужно вообще: V = 0,5 × 1,8 = 0,9 м³. Это тот случай, когда π в решении не появляется ни разу.

Объём цилиндра в литрах

Посчитать объём сразу в литрах нельзя: формула даёт кубические единицы, а литры получаются переводом. Литр — это кубический дециметр, то есть куб со стороной 10 см. В нём 1000 кубических сантиметров, а в кубометре — 1000 литров. Отсюда два правила перевода, и других не нужно:

Из кубических сантиметров

литры = см³ : 1000

Из кубических метров

литры = м³ × 1000

Банка из первого примера вмещает 942 : 1000 = 0,942 литра — чуть меньше литровой. Бак из третьего примера вмещает 0,9 × 1000 = 900 литров. Калькулятор выше показывает оба перевода под ответом, но считает он в тех единицах, которые вы ввели: подставлять сантиметры вместо метров он не станет.

Площадь поверхности цилиндра

Эту величину спрашивают в той же задаче, что и объём, поэтому калькулятор считает её сразу. Смысл другой: объём — сколько внутрь войдёт, площадь поверхности — сколько материала уйдёт на обёртку. Вычисляется она из тех же двух чисел — радиуса и высоты.

Боковая поверхность

S_бок = 2πrh

Полная поверхность

S = 2πrh + 2πr²

Она же короче

S = 2πr(r + h)

Формула боковой поверхности выводится наглядно: разрежьте консервную банку вдоль и разверните — получится прямоугольник. Его высота равна высоте цилиндра, а ширина — длине окружности основания, то есть 2πr. Площадь прямоугольника и есть 2πrh. Полная поверхность — это развёртка плюс два круглых дна.

Обратная задача: найти высоту или радиус

Иногда известен объём, а нужен размер: подобрать высоту бака под заданную вместимость или понять, какого диаметра труба даст нужный расход. Формулу разворачивают:

Высота по объёму

h = V : (πr²)

Радиус по объёму

r = √(V : (πh))

Высота находится делением объёма на площадь основания, а радиус — извлечением корня из того же частного. Бак на 200 литров при диаметре дна 60 см: переводим объём в кубические сантиметры — 200 000 см³, радиус 30 см, площадь дна 2 826 см², высота 200 000 : 2 826 ≈ 71 см. Проверить себя можно тем же калькулятором: подставьте радиус и полученную высоту и сравните объём с исходным.

В каком классе проходят объём цилиндра

Сам цилиндр называют гораздо раньше формул: в пятом и шестом классе его перечисляют среди пространственных фигур вместе с кубом, шаром и конусом, но ничего не считают. В десятом идёт подготовка — прямые и плоскости в пространстве, без которых непонятно, что такое высота цилиндра и почему она перпендикулярна основанию.

Формулы объёма и площади поверхности дают в одиннадцатом классе, в теме тел вращения, вместе с конусом и шаром. Дальше цилиндр встречается на ЕГЭ: и в базовом, и в профильном варианте есть задание на объёмы и площади поверхности тел, и цилиндр — одна из фигур, которые там разбирают.

Частые ошибки

Подставили диаметр вместо радиуса. Самая массовая ошибка, и она дорогая: радиус стоит в квадрате, поэтому ответ получается больше нужного не вдвое, а вчетверо. Дан диаметр — делите пополам.

Возвели в квадрат высоту. В формуле V = πr²h квадрат относится только к радиусу. Проверка простая: если размеры в сантиметрах, ответ обязан выйти в кубических сантиметрах, а не в четвёртой степени.

Смешали единицы. Радиус в сантиметрах, высота в метрах — и ответ не значит ничего. Приводить к одним единицам нужно до подстановки в формулу, а не после.

Перепутали объём с площадью поверхности. Разные величины и разные единицы. Если в задаче спрашивают, сколько краски нужно на бочку, — это площадь. Сколько войдёт бензина — объём.