Тригонометрическая окружность

Тригонометрическая окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Её главная задача: определить синус и косинус для любого угла, а не только для острого. В восьмом классе синус вводят через прямоугольный треугольник, и там угол физически не может быть больше 90°. Окружность снимает это ограничение — по ней считают и тупые углы, и углы больше полного оборота, и отрицательные.

Что такое единичная окружность

Название у неё не одно. Тригонометрический круг, числовая окружность, единичная окружность — это всё об одном и том же объекте, просто в разных учебниках прижились разные слова. Единичной её называют потому, что радиус равен единице: это удобно, вся тригонометрия тогда считается без лишних делений.

Угол отсчитывают от положительного направления горизонтальной оси, против часовой стрелки — это направление считается положительным. По часовой стрелке углы отрицательные: −30° это то же самое место, что и 330°. Каждому углу соответствует ровно одна точка на окружности, и наоборот: полный оборот в 360° возвращает в ту же точку, поэтому 30°, 390° и 750° дают одинаковые значения функций.

Схема со всеми значениями

На схеме отмечены шестнадцать узловых углов — те, которые встречаются в задачах. Нажмите на любую точку: появится радиус и обе проекции, а рядом — значения всех четырёх функций для этого угла.

Градусы и радианы

Один радиан — это угол, при котором длина дуги равна радиусу. Полная окружность содержит 2π радиан, то есть развёрнутый угол в 180° — это ровно π. Отсюда весь перевод:

• из градусов в радианы — умножить на π и разделить на 180;
• из радиан в градусы — умножить на 180 и разделить на π.

На практике проще запомнить опорные точки: 180° = π, 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4, 30° = π/6. Остальное собирается из них. Например, 135° — это три раза по 45°, значит 3π/4. А 210° — это 180° + 30°, то есть π + π/6 = 7π/6.

Синус и косинус на окружности

Главное правило одно и запоминается сразу: косинус — это координата x точки, синус — координата y. То есть точка на окружности всегда имеет координаты (cos α; sin α). Именно это и показывают пунктирные линии на схеме выше: опустите перпендикуляр на горизонтальную ось — получите косинус, на вертикальную — синус.

Отсюда сразу видны две вещи, которые иначе приходится заучивать. Первая: и синус, и косинус не могут выйти за пределы от −1 до 1 — точка не покидает окружность радиуса 1. Вторая: sin²α + cos²α = 1 — это теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами x и y и гипотенузой-радиусом.

Знаки по четвертям

Оси делят окружность на четыре четверти, которые нумеруют против часовой стрелки. Знак функции определяется знаком соответствующей координаты: косинус положителен там, где x справа от вертикальной оси, синус — там, где y выше горизонтальной.

Тангенс и котангенс — это отношения, поэтому их знак получается делением: там, где синус и косинус одного знака (первая и третья четверти), тангенс положителен, где разного (вторая и четвёртая) — отрицателен.

Тангенс и котангенс

Тангенс равен sin α / cos α, котангенс — cos α / sin α. На окружности видно, когда они не существуют: тангенса нет там, где косинус обращается в ноль, то есть при 90° и 270°; котангенса нет там, где ноль синус — при 0° и 180°. В таблице ниже эти клетки помечены прочерком, и это не пропуск, а честный ответ: делить на ноль нельзя.

Таблица значений для всех узловых углов

Шестнадцать углов, которые нужны в задачах. Учить всю таблицу не нужно: достаточно первой четверти, остальное получается отражением с изменением знака по правилу выше.

Как пользоваться окружностью

Три шага, которые закрывают почти любую задачу на значения:

1. Найти точку. Если угол больше 360° или отрицательный, сначала привести его к диапазону от 0 до 360°, прибавляя или вычитая полные обороты.
2. Определить четверть и по ней — знак нужной функции.
3. Взять значение из первой четверти для «зеркального» острого угла. Например, для 150° зеркальный угол — 30°, значит sin 150° = sin 30° = 1/2, а cos 150° = −cos 30° = −√3/2: во второй четверти косинус отрицателен.

Тот же приём работает при отборе корней в уравнениях: корни отмечают точками на окружности и смотрят, какие из них попадают в нужный промежуток. Это нагляднее, чем перебирать значения n в общей формуле.

Частые ошибки

Первая и самая массовая — перепутать оси. Синус по вертикали, косинус по горизонтали, и никак иначе; помогает то, что в слове «косинус» есть буква «о», как в слове «горизонталь». Вторая — забыть про знак и записать cos 120° = 1/2 вместо −1/2. Третья — считать, что углы всегда меньше 360°: в уравнениях решений бесконечно много, и к каждому добавляется 360°n.

Ещё одна ошибка не математическая, а учебная: пытаться выучить окружность как картинку целиком. Двадцать точек с координатами запоминаются плохо и первыми же вылетают на контрольной. Нужно знать первую четверть и правило симметрии — тогда окружность восстанавливается на черновике за полминуты.