Тригонометрические формулы

Формул в тригонометрии много, но выводятся они из нескольких основных. Заучивать весь список наизусть не нужно и вредно: полезнее держать под рукой таблицу и понимать, откуда что берётся. Ниже полный набор, которым пользуются в школе и на экзамене, — по блокам, чтобы искать было быстро.

Основные тригонометрические тождества

Это фундамент: из первого тождества выводится половина остальных формул, а последние два получаются из него делением на cos²α и sin²α.

Основное тождество

sin²α + cos²α = 1

Тангенс

tg α = sin α / cos α

Котангенс

ctg α = cos α / sin α

Связь тангенса и котангенса

tg α · ctg α = 1

Через тангенс

1 + tg²α = 1 / cos²α

Через котангенс

1 + ctg²α = 1 / sin²α

Таблица значений

Значения для углов от 0 до 90° — единственное в тригонометрии, что стоит выучить наизусть. Всё остальное либо выводится, либо ищется в справочнике.

Значения для остальных углов получаются переносом на тригонометрическую окружность — там же видно, где функция положительна, а где отрицательна.

Формулы сложения и вычитания

Нужны, когда угол в задаче раскладывается на два известных: например, 75° — это 45° + 30°.

Синус суммы

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

Синус разности

sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β

Косинус суммы

cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β

Косинус разности

cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Тангенс суммы

tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)

Тангенс разности

tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β)

Знаки в синусе и косинусе идут наоборот: у синуса плюс остаётся плюсом, у косинуса меняется на минус. Это самая частая ошибка в блоке.

Формулы двойного угла

Получаются из формул сложения, если взять β = α. У косинуса три записи — берут ту, которая удобнее в конкретной задаче.

Синус двойного угла

sin 2α = 2 · sin α · cos α

Косинус двойного угла

cos 2α = cos²α − sin²α

Он же через синус

cos 2α = 1 − 2 · sin²α

Он же через косинус

cos 2α = 2 · cos²α − 1

Тангенс двойного угла

tg 2α = 2 · tg α / (1 − tg²α)

Тройной и половинный угол

Синус тройного угла

sin 3α = 3 · sin α − 4 · sin³α

Косинус тройного угла

cos 3α = 4 · cos³α − 3 · cos α

Квадрат синуса половины

sin²(α/2) = (1 − cos α) / 2

Квадрат косинуса половины

cos²(α/2) = (1 + cos α) / 2

Тангенс половины

tg(α/2) = (1 − cos α) / sin α = sin α / (1 + cos α)

Формулы понижения степени

Убирают квадраты и кубы — без них не берутся интегралы и не решается половина уравнений с sin² и cos².

Квадрат синуса

sin²α = (1 − cos 2α) / 2

Квадрат косинуса

cos²α = (1 + cos 2α) / 2

Куб синуса

sin³α = (3 · sin α − sin 3α) / 4

Куб косинуса

cos³α = (3 · cos α + cos 3α) / 4

Сумма и разность функций

Превращают сумму в произведение. Нужны, когда уравнение надо разложить на множители и приравнять каждый к нулю.

Сумма синусов

sin α + sin β = 2 · sin((α + β)/2) · cos((α − β)/2)

Разность синусов

sin α − sin β = 2 · sin((α − β)/2) · cos((α + β)/2)

Сумма косинусов

cos α + cos β = 2 · cos((α + β)/2) · cos((α − β)/2)

Разность косинусов

cos α − cos β = −2 · sin((α + β)/2) · sin((α − β)/2)

Произведение функций

Обратный переход: из произведения в сумму.

Произведение синусов

sin α · sin β = ½ · (cos(α − β) − cos(α + β))

Произведение косинусов

cos α · cos β = ½ · (cos(α − β) + cos(α + β))

Синус на косинус

sin α · cos β = ½ · (sin(α − β) + sin(α + β))

Универсальная подстановка

Сводит уравнение с разными функциями к одной переменной. Обозначают t = tg(α/2) и заменяют всё через t. Приём мощный, но с оговоркой: при α = 180° + 360°n тангенс половины не существует, и такие корни проверяют отдельно.

Синус через t

sin α = 2t / (1 + t²)

Косинус через t

cos α = (1 − t²) / (1 + t²)

Тангенс через t

tg α = 2t / (1 − t²)

Формулы приведения

Отдельного списка здесь нет намеренно — их удобнее не запоминать, а получать по правилу из двух шагов.

1. Смотрим, от какой оси отсчитан угол. Если от 90° или 270° (то есть от π/2 или 3π/2), функция меняется на парную: синус на косинус, тангенс на котангенс. Если от 180° или 360° — остаётся прежней.
2. Определяем знак: смотрим, в какой четверти лежит исходный угол, и берём знак, который имеет там исходная функция.

Пример: cos(90° + α). Угол отсчитан от 90°, значит косинус меняется на синус. Угол 90° + α лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Итого cos(90° + α) = −sin α.

Что нужно на ЕГЭ

На профильном ЕГЭ справочных материалов с формулами не выдают — тригонометрию нужно знать. Но объём меньше, чем кажется: тождества, таблица значений, сложение, двойной угол и понижение степени закрывают подавляющую часть заданий. Тройной угол и универсальная подстановка нужны редко, в самых громоздких уравнениях.

Проверить себя проще всего так: возьмите любую формулу из блока двойного угла и выведите её из формул сложения. Если получается — список выучен не наизусть, а понят, и на экзамене он не рассыплется от волнения.