Тригонометрия

Тригонометрия — это раздел математики о связи между углами и сторонами треугольника. Начинается она в восьмом классе с прямоугольного треугольника, а к десятому вырастает в отдельную большую тему с собственными функциями, графиками и уравнениями. Пугает она в основном объёмом формул, хотя выводятся почти все из двух-трёх основных.

Что это за раздел и зачем он нужен

Задача тригонометрии простая: зная угол, найти отношение сторон, и наоборот. Из этого вырастает всё остальное — от вычисления высоты дерева по длине тени до описания колебаний в физике. В школьной программе раздел делится на две части. Первая, геометрическая, — это решение треугольников. Вторая, алгебраическая, — тригонометрические функции числа, их графики и уравнения.

Начать с нуля тут вполне реально: достаточно уверенно знать теорему Пифагора и подобие треугольников. Всё остальное вводится с этой базы.

Синус, косинус, тангенс и котангенс

В прямоугольном треугольнике четыре функции острого угла определяются через отношения сторон. Гипотенуза — сторона напротив прямого угла, катеты — две остальные; для выбранного угла один катет называют прилежащим, второй противолежащим.

Синус

sin α = противолежащий катет / гипотенуза

Косинус

cos α = прилежащий катет / гипотенуза

Тангенс

tg α = противолежащий катет / прилежащий катет

Котангенс

ctg α = прилежащий катет / противолежащий катет

Из определений сразу следует, что синус и косинус острого угла всегда меньше единицы: катет короче гипотенузы. А тангенс и котангенс — взаимно обратные величины, их произведение равно единице.

Теоремы синусов и косинусов

Определения выше работают только в прямоугольном треугольнике. Для любого другого есть две теоремы, которыми и решают треугольники в девятом классе.

Теорема синусов

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

Теорема косинусов

c² = a² + b² − 2ab · cos C

Площадь через синус

S = ½ · a · b · sin C

Теорема косинусов — это обобщение теоремы Пифагора: при C = 90° косинус обращается в ноль, и остаётся привычное c² = a² + b².

От треугольника к окружности

У определений через треугольник есть предел: угол в нём не бывает больше 90°. Чтобы говорить о синусе тупого угла, угла в 200° или отрицательного, функции переопределяют на единичной окружности — окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Точке на ней соответствуют координаты (cos α; sin α): косинус это x, синус это y.

Такое определение полностью согласуется со старым — для острых углов значения те же самые, — но работает для любого угла. Подробный разбор со схемой и знаками по четвертям — на странице тригонометрической окружности.

Градусы и радианы

В старших классах углы измеряют не только в градусах. Радиан — это угол, при котором длина дуги равна радиусу; в полной окружности их 2π, а развёрнутый угол в 180° равен ровно π. Правило перевода простое: из градусов в радианы умножают на π/180, обратно — на 180/π.

Опорные значения, которые стоит знать наизусть: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π. Всё остальное собирается из них.

Основные тождества

Три формулы, из которых выводится почти весь остальной список.

Основное тождество

sin²α + cos²α = 1

Тангенс через синус и косинус

tg α = sin α / cos α

Тангенс и котангенс

tg α · ctg α = 1

Полный набор — сложение, двойной угол, понижение степени, преобразование суммы в произведение — собран на странице тригонометрических формул.

Таблица значений

Значения для углов от 0 до 90° — то немногое, что в тригонометрии действительно учат наизусть.

Графики тригонометрических функций

В одиннадцатом классе функции перестают быть только числами и получают графики. График синуса называют синусоидой: волна, которая бесконечно повторяется с периодом 2π и колеблется между −1 и 1. График косинуса — та же самая волна, сдвинутая влево на π/2: отсюда и формула cos α = sin(α + π/2).

У тангенса график другой — тангенсоида. Она состоит из отдельных ветвей с периодом π и разрывами в точках 90° + 180°n, где косинус обращается в ноль и делить становится не на что. Область значений при этом не ограничена: тангенс принимает любое число, в отличие от синуса и косинуса.

Из графиков сразу читаются свойства, которые иначе учат отдельно: периодичность, чётность (косинус чётный, синус и тангенс нечётные), промежутки возрастания и точки максимума. Поэтому график полезно уметь рисовать от руки — на экзамене это быстрее, чем вспоминать свойства списком.

Где применяется тригонометрия

В геодезии и навигации ею измеряют расстояния, до которых нельзя дотянуться рулеткой: высоту горы, ширину реки, положение корабля. В физике через синус и косинус описывают всё колебательное — маятник, переменный ток, звук и свет. В строительстве считают уклоны и стропильные системы. В компьютерной графике поворот любого объекта — это умножение координат на синусы и косинусы угла поворота.

Что учат в каком классе

В восьмом классе появляются синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника — пока как отношения сторон. В девятом добавляют теоремы синусов и косинусов и решают произвольные треугольники. В десятом вводят единичную окружность, радианы, все четыре функции для любого угла, основные тождества, формулы приведения и тригонометрические уравнения. В одиннадцатом идут графики, производные тригонометрических функций и разбор заданий ЕГЭ.

Порядок здесь важнее скорости: пропуск восьмого класса делает десятый бессмысленным. Если тригонометрия «не идёт» в десятом, проверять надо определения через треугольник — чаще всего провал именно там.