Формулы приведения переводят синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла вида 90° ± α, 180° ± α, 270° ± α и 360° ± α в функцию острого угла α. Нужны они постоянно: без них не упростить выражение и не решить уравнение, где под знаком функции стоит не сам угол, а сумма с прямым или развёрнутым.
Заучивать все тридцать шесть формул наизусть не нужно, и почти никто этого не делает. Есть правило из двух шагов, по которому любая из них получается за несколько секунд, — и именно его стоит понять один раз. Тригонометрия вообще устроена так: заучивания в ней меньше, чем кажется, а выводится почти всё.
Что такое формулы приведения и зачем они нужны
В тригонометрии есть договорённость: результат принято записывать через функцию острого угла, от 0 до 90°. Такое значение можно взять из таблицы или посчитать, а вот что такое sin 210° — с ходу не скажешь. Формулы приведения эту задачу и решают: приводят любой аргумент к острому.
Второе применение важнее первого. В уравнениях под знаком функции часто оказывается конструкция вроде cos(3π/2 − x). Пока она такая, дальше двигаться нельзя: не свернуть, не разложить на множители. Приведение превращает её в sin x, и уравнение становится обычным.
Проходят эту тему в 10 классе, сразу после единичной окружности, — потому что вывод опирается именно на неё.
Таблица формул приведения
Девять аргументов на четыре функции. Ниже разобрано правило, по которому эта таблица получается, так что запоминать её целиком не обязательно.
| Аргумент | sin | cos | tg | ctg |
|---|---|---|---|---|
| −α | −sin α | cos α | −tg α | −ctg α |
| 90° − α | cos α | sin α | ctg α | tg α |
| 90° + α | cos α | −sin α | −ctg α | −tg α |
| 180° − α | sin α | −cos α | −tg α | −ctg α |
| 180° + α | −sin α | −cos α | tg α | ctg α |
| 270° − α | −cos α | −sin α | ctg α | tg α |
| 270° + α | −cos α | sin α | −ctg α | −tg α |
| 360° − α | −sin α | cos α | −tg α | −ctg α |
| 360° + α | sin α | cos α | tg α | ctg α |
В радианах те же строки читаются так: 90° — это π/2, 180° — π, 270° — 3π/2, 360° — 2π. Запись меняется, правило нет.
Правило двух шагов
Работает для любой строки таблицы и не требует ничего, кроме умения определять четверть.
- Меняется функция или нет. Смотрим, от какой оси отсчитан угол. Если от 90° или 270° — то есть от вертикальной оси, — функция меняется на парную: синус на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот. Если от 180° или 360°, функция остаётся прежней.
- Какой знак. Определяем, в какой четверти лежит весь аргумент, если считать α острым. Дальше берём знак, который имеет в этой четверти исходная функция — та, что стояла в задании, а не та, что получилась после замены. Это единственное место, где ошибаются чаще всего.
Разберём на cos(270° + α). Угол отсчитан от 270°, значит косинус меняется на синус. Аргумент 270° + α при остром α попадает в четвёртую четверть, а там косинус — исходная функция — положителен. Знак плюс. Итого cos(270° + α) = sin α.
Мнемоническое правило лошади
Школьная присказка для первого шага звучит так: если угол отсчитывается от вертикальной оси, лошадь кивает головой — «да, меняем»; если от горизонтальной — мотает — «нет, не меняем». Правило лошади удобно тем, что снимает половину работы за секунду.
У него есть ровно одна ловушка, и о ней стоит сказать честно: мнемоника отвечает только на первый вопрос, про смену функции. Знак она не определяет вообще. Ученик, который выучил присказку и на этом остановился, будет стабильно терять минусы. Проверять четверть придётся в любом случае.
Откуда берутся формулы приведения
Каждая строка таблицы выводится из тригонометрической окружности, и это полезнее увидеть один раз, чем поверить на слово.
Возьмём sin(180° − α). Отметим на окружности точку для угла α: её координаты (cos α; sin α). Теперь отметим точку для 180° − α. Она симметрична первой относительно вертикальной оси: та же высота, зеркальная горизонтальная координата. Значит y у обеих точек одинаковый, а y — это и есть синус. Отсюда sin(180° − α) = sin α. И сразу видна вторая половина: x у зеркальной точки поменял знак, поэтому cos(180° − α) = −cos α.
С аргументами от 90° и 270° работает та же логика, только симметрия там относительно биссектрисы, и координаты меняются местами — отсюда и замена синуса на косинус.
Смысл вывода не в том, чтобы уметь его воспроизвести на экзамене. Он в том, что после него правило перестаёт быть набором слов: становится видно, почему функция меняется именно у вертикальной оси и почему знак берётся у исходной функции.
Разбор примеров
Упростить sin(90° + α) · ctg(180° − α)
Первый множитель: отсчёт от 90°, синус меняется на косинус; аргумент во второй четверти, синус там положителен — знак плюс. Получаем cos α.
Второй: отсчёт от 180°, котангенс остаётся котангенсом; аргумент во второй четверти, котангенс там отрицателен — знак минус. Получаем −ctg α.
Перемножаем: cos α · (−ctg α) = −cos α · cos α / sin α = −cos2α / sin α.
Найти cos 210°
Представим 210° как 180° + 30°. Отсчёт от 180°, функция не меняется. Аргумент в третьей четверти, косинус там отрицателен. Значит cos 210° = −cos 30° = −√3/2.
Решить sin(π/2 + x) = 1/2
Приводим левую часть: отсчёт от π/2, синус меняется на косинус; аргумент в первой четверти при остром x, синус положителен. Выходит cos x = 1/2, а это уже табличное уравнение с ответом x = ±π/3 + 2πn.
Частые ошибки
Знак берут у новой функции, а не у исходной
Самая массовая ошибка. В cos(90° + α) после замены появляется синус, и рука тянется посмотреть знак синуса во второй четверти — он там положительный, получается +sin α. Верный ответ −sin α: смотреть надо на косинус, потому что именно он стоял в задании.
Забывают, что α считается острым
Правило выводится в предположении, что α лежит в первой четверти. Это не ограничение ответа — формула верна для любого α, — но при определении четверти представлять α нужно именно острым.
Путают приведение с периодичностью
sin(360° + α) = sin α — это период, а не приведение в собственном смысле, хотя строка и стоит в таблице. А вот sin(180° + α) = −sin α периодом не объясняется, здесь без правила не обойтись.
Меняют функцию у 180°
Отсчёт от развёрнутого угла функцию не трогает. Если после 180° в ответе появился косинус вместо синуса, где-то сработала не та ось.
Формулы приведения на экзаменах
На ОГЭ они почти не встречаются: тригонометрия в девятом классе ограничена треугольником. А вот на ЕГЭ, особенно на профиль, без них не обойтись — они входят в стандартный набор преобразований, которым сворачивают выражение перед решением уравнения. Отдельного задания «примените формулу приведения» нет, но внутри задач она всплывает регулярно.
Справочных материалов с формулами на экзамене не выдают, так что правило нужно знать. Хорошая новость: помнить надо не таблицу, а два шага — какая ось и какой знак.
Частые вопросы
В каком классе проходят формулы приведения?
В десятом, в теме тригонометрических функций, сразу после единичной окружности. Раньше их давать бессмысленно: вывод опирается на окружность, а без него остаётся заучивание таблицы из тридцати шести строк.
Обязательно ли учить таблицу наизусть?
Нет, и это лишняя работа. Правило двух шагов даёт любую строку за несколько секунд, а таблица нужна для сверки, пока правило не стало автоматическим. Учить стоит только то, что не выводится: значения функций для 0, 30, 45, 60 и 90 градусов.
Как понять, меняется функция или нет?
Смотреть на ось, от которой отсчитан угол. Вертикальная (90° и 270°) — функция меняется на парную. Горизонтальная (180° и 360°) — остаётся. Мнемоника про кивающую лошадь именно об этом, но знак она не подсказывает.
Работают ли формулы приведения для отрицательных углов?
Да. Строка −α в таблице — это они и есть: синус, тангенс и котангенс знак меняют, косинус нет. Формально это свойство чётности и нечётности функций, но пользуются им так же.
Остальные формулы — на странице тригонометрических формул, весь раздел — в тригонометрии. Если правило понятно, а в задачах всё равно теряется знак, разобрать это с преподавателем быстрее, чем по учебнику: первое занятие бесплатное.